כל מה שרצית לדעת על אוריינטציה (מתמטיקה):
במתמטיקה ובפרט בטופולוגיה וגאומטריה, אוריינטציה היא מבנה שניתן (לעתים) להגדיר על אובייקט גאומטרי (בדרך כלל יריעה).
לא על כל יריעה ניתן להגדיר אוריינטציה.
יריעה שעליה ניתן להגדיר אוריינטציה נקראת אוריינטבילית.
על יריעה אוריינטבילית קשירה ניתן להגדיר בדיוק שתי אוריינטציות.
שתי האוריינטציות האלה נקראות מנוגדות (או לעתים הפוכות).
אם מסמנים אחת מהן ב אז את השנייה מסמנים ב .
יריעה אוריינטבילית שעליה נקבעה אוריינטציה נקראת מכוונת (oriented).
המשמעות האינטואיטיבית של אוריינטציה היא כיוון.
לדוגמה, בחירת אוריינטציה על עקום, שקולה לבחירת כיוון התקדמות לאורך העקום.
בממדים גבוהים יותר, מושג האוריינטציה הופך מורכב, אך במקרים מסוימים עדיין ניתן לתארו בצורה אינטואיטיבית.
לדוגמה, בחירת אוריינטציה על משטח במרחב, שקולה לבחירת "צד" של המשטח.
כיון שלטבעת מביוס לא ניתן "לבחור צד", היא אינה אוריינטבילית.
באופן פורמלי, ניתן להגדיר את המושג אוריינטציה על מרחב לינארי ממשי בתור מחלקת שקילות של בסיסים תחת יחס השקילות הבא: שני בסיסים שקולים אם הדטרמיננטה של מטריצת המעבר ביניהם היא חיובית.
אוריינטציה על יריעה חלקה היא אוריינטציה על המרחב המשיק לכל נקודה "התלויה באופן רציף" בנקודה.
באופן פורמלי, על יריעה חלקה ממדית ניתן להגדיר את מושג האוריינטציה בתור מחלקת שקילות של תבניות דיפרנציאליות הפיכות ממעלה תחת יחס השקילות הבא: שתי תבניות הפיכות שקולות אם המנה שלהן היא פונקציה חיובית.
על יריעה טופולוגית -ממדית קשירה וסגורה (Closed manifold) בחירת אוריינטציה שקולה לבחירת יוצר של חבורת ההומולוגיה העליונה .
יוצר זה נקרא המחלקה היסודית (Fundamental class) של היריעה.
על יריעה טופולוגית -ממדית כללית ניתן להגדיר את מושג האוריינטציה בתור התאמה "רציפה" של יוצר של חבורת ההומולוגיה היחסית עבור כל .
בנייות רבות בגאומטריה בכלל וטופולוגיה דיפרנציאלית בפרט, מתבססת על בחירת אוריינטציה.
למשל, מכפלה וקטורית במרחב אוקלידי (תלת ממדי), אינטגרציה של תבנית דיפרנציאלית על יריעה, מעלה של העתקה (Degree of a continuous mapping) בין שתי יריעות (מאותו ממד), אינדקס חיתוך של שתי תת-יריעות (מממדים משלימים), דואליות פואנקרה (Poincaré duality), וקובורדיזם (Cobordism).
כמו כן, ניתן להגדיר כמה אינווריאנטים של יריעות באמצעות מושג האוריינטציה.
למשל, אוריינטביליות וכיסוי האוריינטציות.
בנייות המתבססות על מושג האוריינטציה תלוית בדרך כלל ב"מוסכמות סימן", כגון כלל יד ימין, מושג הכיוון החיובי וכדומה.
בערך זה נשתמש במוסכמות המקובלות ביותר, אך ישנן גם מוסכמות אחרות הנמצאות בשימוש.