הלמה של נקאימה

כל מה שרצית לדעת על הלמה של נקאימה:
במתמטיקה, הלמה של נקאימה היא למה טכנית חשובה באלגברה ובגאומטריה אלגברית, המתייחסת למודולים נוצרים סופית מעל חוג R.
לפי הלמה,   J ( R ) ⋅ M ≠ M {\displaystyle \ J(R)\cdot M\neq M} לכל מודול נוצר סופית ושונה מאפס, M, כאשר אם   J = J ( R ) {\displaystyle \ J=J(R)} הוא רדיקל ג'ייקובסון של החוג, השווה, על-פי ההגדרה, לחיתוך כל האידיאלים השמאליים המקסימליים של R.
הטענה חשובה במיוחד כאשר R חוג מקומי (אז J הוא האידיאל המקסימלי שלו), אבל יש לה שימושים רבים אחרים.
מן הלמה נובע, למשל, שכאשר M נוצר סופית,   J ⋅ M + N ≠ M {\displaystyle \ J\cdot M+N\neq M} לכל תת-מודול   N < M {\displaystyle \ N<M} ; כלומר, המכפלה   J ( R ) ⋅ M {\displaystyle \ J(R)\cdot M} קטנה כל-כך, עד שלא ניתן להגיע ממנה ל- M על ידי הוספת תת-מודול, אלא אם הוא שווה ל-M כולו.
בשפה של אלומות קוהרנטיות ניתן לנסח את הלמה כך: תהי F {\displaystyle \,{\mathcal {F}}} אלומה קוהרנטית.
אז הנבט בx, המסומן ב F x {\displaystyle \,{\mathcal {F}}_{x}} , הוא 0 אם ורק אם קיימת סביבה U של x כך ש F | U = 0 {\displaystyle \,{\mathcal {F}}|_{U}=0} .
בגרסתה הכללית הלמה קובעת כי לכל מודול נוצר סופית M {\displaystyle M} מעל חוג R {\displaystyle R} ולכל אידיאל I {\displaystyle I} ב- R {\displaystyle R} , אם I M = M {\displaystyle IM=M} אז קיים a ∈ I {\displaystyle a\in I} שעבורו ( 1 + a ) M = 0 {\displaystyle \left(1+a\right)M=0} .
כלומר, ניתן למצוא איבר מיוחד a ∈ I {\displaystyle a\in I} כך שלכל m ∈ M {\displaystyle m\in M} מתקיים a m = m {\displaystyle am=m} .

נלקח מויקיפדיה

הגדרות נוספות הקשורות להלמה של נקאימה:
•משפטים בגאומטריה אלגברית
•משפטים באלגברה