כל מה שרצית לדעת על השערת ארדש-גראהם:
השערת ארדש-גראהם היא השערה שהוכחה כנכונה בתורת המספרים הקומבינטורית, שלפיה בכל חלוקה סופית של קבוצת המספרים (המספרים הטבעיים הגדולים מ-1), יש חלק הכולל מספרים שסכום ההפכיים שלהם הוא 1.
במלים אחרות, לכל צביעה של המספרים האלו במספר סופי של צבעים, יש "הצגה מונוכרומטית" של 1 כשבר מצרי (מניחים ש-1 אינו משתתף במשחק, כדי שלא לקבל את ההצגה הטריוויאלית ).
את ההשערה הציעו פול ארדש ורונלד גראהם ב-1980, והוכיח אותה ארני קרוט (אנ') בשנת 2000.
לדוגמה, בחלוקת הטבעיים למספרים זוגיים ואי-זוגיים, אפשר להציג את 1 גם כסכום , וגם כסכום .
השאלה היא האם בכל חלוקה יש הצגה כזו לפחות עבור אחד החלקים.
ארדש וגראהם שיערו בנוסף שקיים קבוע b כך שאם מספר הצבעים r גדול מספיק, אז המכנה הגדול ביותר שבו נעשה שימוש בהצגה, קטן מ-.
כדי שהתנאי הזה יתקיים, ידוע שעל b להיות לפחות e.
קרוט הוכיח שהטענה הזו נכונה עבור .
תוצאתו של קרוט נובעת כמסקנה ממשפט כללי יותר, שלפיו יש הצגה של 1 באמצעות שברים מצריים שהמכנים שלהם נבחרים מקבוצה C של מספרים חלקים בקטעים מהצורה , בתנאי ש-C גדולה מספיק כך שסכום ההפכיים של המספרים שם הוא לפחות 6.
השערת ארדש-גראהם נובעת מהמשפט הזה, אם מראים שלכל r, ניתן למצוא קטע מהצורה הזו כך שסכום ההופכיים של כל המספרים החלקים הוא לפחות 6r, משום שאז יש בכל צביעה ב-r צבעים חלק אחד שסכום ההפכיים עבורו הוא לפחות 6.