כל מה שרצית לדעת על השערת ארדש-שטראוס:
השערת ארדש-שטראוס נוסחה על ידי המתמטיקאים פול ארדש וארנסט ג.
שטראוס בשנת 1948 , אם כי ההופעה המוקדמת ביותר שלה בספרות היא במאמר של ארדש מ-1950 .
תוכן ההשערה אומר שעבור כל מספר טבעי , המספר הרציונלי ניתן לביטוי כסכום של בדיוק שלושה שברים יסודיים.
כלומר, קיימים שלושה מספרים טבעיים x, y ו-z, כך שמתקיים:
.
סכומם של שלושת שברי היחידה הוא הייצוג של 4/n כשבר מצרי.
לדוגמה, עבור n = 1801, קיים פתרון עם הערכים x = 451, y = 295364, z = 3249004:
.
אם נכפיל את משוואה 1 ב-nxyz נקבל את הצורה השקולה , שהיא ניסוח של ההשערה כמשוואה דיופנטית.
גורם מהותי לקושי של פתרון המשוואה הדיופנטית הוא ההגבלה על x, y ו-z, הנדרשים להיות שלמים וחיוביים.
לו היינו מאפשרים גם ערכים שליליים, פתרון הבעיה היה טריוויאלי, ומידי באמצעות אחת משתי הזהויות , או .
אם n הוא מספר פריק, , אז ניתן למצוא פיתוח של 4/n בקלות באמצעות הפיתוחים של 4/p או 4/q.
לכן, אם קיימת דוגמה נגדית להשערת ארדש-שטראוס, המספר, n, הקטן ביותר שיצור דוגמה נגדית יהיה ראשוני.