כל מה שרצית לדעת על חבורת אוטומורפיזמים:
בתורת החבורות, חבורת אוטומורפיזמים של חבורה G היא אוסף כל האוטומורפיזמים של החבורה לעצמה, כלומר, אוסף הפונקציות ההפיכות   σ : G → G {\displaystyle \ \sigma :G\rightarrow G} , המקיימות את התנאי   σ ( x y ) = σ ( x ) σ ( y ) {\displaystyle \ \sigma (xy)=\sigma (x)\sigma (y)} (מאקסיומה זו נובע גם ש-   σ ( 1 ) = 1 {\displaystyle \ \sigma (1)=1} , כאשר 1 הוא איבר היחידה של G).
אם G היא חבורה, כל פעולת הצמדה, מהצורה   x ↦ g x g − 1 {\displaystyle \ x\mapsto gxg^{-1}} , היא אוטומורפיזם, הנקרא אוטומורפיזם פנימי.
אוסף האוטומורפיזמים הפנימיים הוא תת-חבורה נורמלית של   Aut ⁡ ( G ) {\displaystyle \ \operatorname {Aut} (G)} , שאותה מסמנים בסימון   Inn ⁡ ( G ) {\displaystyle \ \operatorname {Inn} (G)} .
הפונקציה   G → Aut ⁡ ( G ) {\displaystyle \ G\rightarrow \operatorname {Aut} (G)} המעתיקה את האיבר g לאוטומורפיזם ההצמדה   γ g : x ↦ g x g − 1 {\displaystyle \ \gamma _{g}:x\mapsto gxg^{-1}} היא הומומורפיזם, שהתמונה שלו היא כמובן   Inn ⁡ ( G ) {\displaystyle \ \operatorname {Inn} (G)} , והגרעין שלו הוא המרכז   Z ( G ) {\displaystyle \ Z(G)} של G.
לפי משפט האיזומורפיזם הראשון,   Inn ⁡ ( G ) ≅ G / Z ( G ) {\displaystyle \ \operatorname {Inn} (G)\cong G/Z(G)} .
אוטומורפיזם שאינו פנימי נקרא "חיצוני".
תוך שיבוש קל של הטרמינולוגיה, חבורת המנה   Aut ⁡ ( G ) / Inn ⁡ ( G ) {\displaystyle \ \operatorname {Aut} (G)/\operatorname {Inn} (G)} נקראת חבורת האוטומורפיזמים החיצוניים של G.
לחבורה אבלית אין אוטומורפיזם פנימי לא טריוויאלי, אבל כאשר המרכז קטן (ובפרט, כאשר הוא טריוויאלי), לא פשוט לבנות אוטומורפיזמים חיצוניים, ובדרך כלל חבורת האוטומורפיזמים החיצוניים קטנה ביחס לחבורה.
חבורה בת מרכז טריוויאלי ונטולת אוטומורפיזמים חיצוניים נקראת חבורה שלמה.

נלקח מויקיפדיה

הגדרות נוספות הקשורות לחבורת אוטומורפיזמים:
•תורת החבורות