חוג עם זהויות

כל מה שרצית לדעת על חוג עם זהויות:
בתורת החוגים, חוג עם זהויות (או חוג עם זהויות פולינומיות, ובקיצור חוג PI – Polynomial Identity) הוא חוג שיש לו זהות פולינומית, כלומר פולינום לא אפסי באלגברה האסוציאטיבית החופשית במספר משתנים (מעל שדה קבוע) שמתאפס בכל הצבה מתוך החוג.
לחוגים עם זהויות תפקיד חשוב בתורת החוגים, בכך שהם מכלילים את התורה הקומוטטיבית (אכן, כל אלגברה קומוטטיבית היא PI, באמצעות זהות הקומוטטור) ומהווים נדבך חשוב נוסף בין החוגים הקומוטטיביים לחוגים הלא קומוטטיביים.
לחוגים עם זהויות ישנו מדד, שנקרא דרגת ה-PI והוא דרגת הזהות הפולינומית המינימלית של החוג.
כל אלגברה שהיא מודול נוצר סופית מעל המרכז שלה היא PI.
חוג המטריצות מעל חוג PI שוב PI (עם זאת, עמיצור בנה חוג שמקיים את כל הזהויות של מטריצות מעל חוג קומוטטיבי, אך אינו משוכן באף חוג מטריצות כזה; מאוחר יותר הביא Small דוגמה אחרת, בעלת תכונות מעניינות נוספות).
ענף החוגים עם זהויות קיבל דחיפה חזקה בזכות משפט עמיצור-לויצקי, הקובע מהי הזהות המינימלית של חוגי מטריצות מסדר n {\displaystyle n} מעל שדה – והיא הזהות הסטנדרטית מסדר 2 n {\displaystyle 2n} .
הזהות הסטנדרטית מוגדרת כך: s n ( X 1 , … , X n ) = ∑ σ ∈ S n sgn ⁡ ( σ ) X σ ( 1 ) ⋯ X σ ( n ) = 0   {\displaystyle s_{n}(X_{1},\ldots ,X_{n})=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )X_{\sigma (1)}\dotsm X_{\sigma (n)}=0~} .
מציאת בסיס לאידיאל הזהויות, כלומר מציאת קבוצת זהויות מפורשת לחוג, כך שמהן נובעות כל הזהויות שלו היא בעיה קשה ופתוחה באופן כללי – כבר עבור מטריצות מסדר 3 מעל שדה לא ידוע בסיס כזה (עבור 2 בסיס כזה הוא הזהות הסטנדרטית וזהות קפלי, לפיה ריבוע הקומוטטור הוא במרכז).
בעיית Specht שואלת האם לכל חוג PI שהוא אלגברה נוצרת סופית מעל חוג נותרי יש בסיס סופי לאידיאל הזהויות.

נלקח מויקיפדיה

הגדרות נוספות הקשורות לחוג עם זהויות:
•תורת החוגים