מטריצה חיובית

כל מה שרצית לדעת על מטריצה חיובית:
באלגברה ליניארית, מטריצה ממשית סימטרית A היא מטריצה חיובית (positive) אם התבנית הריבועית   q ( x ) = x T A x {\displaystyle \ q(x)=x^{T}Ax} היא חיובית, כלומר אם   q ( x ) ≥ 0 {\displaystyle \ q(x)\geq 0} לכל וקטור (ממשי) x {\displaystyle \,x} .
המטריצה A היא חיובית לחלוטין (positive definite; בשימוש גם הביטוי השגוי "מטריצה מוגדרת חיובית") אם התבנית חיובית לחלוטין:   q ( x ) > 0 {\displaystyle \ q(x)>0} לכל   x ≠ 0 {\displaystyle \ x\neq 0} (זו כמובן תכונה חזקה יותר).
התכונה המקבילה לסימטריות עבור מטריצות מרוכבות, היא תכונת ההרמיטיות.
מטריצה הרמיטית מרוכבת היא חיובית אם לכל וקטור (מרוכב) x מתקיים   x ∗ A x ≥ 0 {\displaystyle \ x^{*}Ax\geq 0} , וחיובית לחלוטין אם לכל וקטור   x ≠ 0 {\displaystyle \ x\neq 0} מתקיים   x ∗ A x > 0 {\displaystyle \ x^{*}Ax>0} .
תנאים אלה שקולים לכך שכל הערכים העצמיים של המטריצה יהיו ממשיים וחיוביים (ובהתאמה, חיוביים ממש), ומשום כך מטריצות חיוביות מתנהגות מהרבה בחינות כמו מספרים ממשיים חיוביים.
לדוגמה, מטריצה   A = ( a ) {\displaystyle \ A=(a)} בגודל   1 × 1 {\displaystyle \ 1\times 1} היא הרמיטית רק כאשר a {\displaystyle \,a} ממשי.
המטריצה חיובית אם   a ≥ 0 {\displaystyle \ a\geq 0} , וחיובית לחלוטין אם   a > 0 {\displaystyle \ a>0} .

נלקח מויקיפדיה

הגדרות נוספות הקשורות למטריצה חיובית:
•מטריצות