מספר אלגברי

כל מה שרצית לדעת על מספר אלגברי:
מספר אלגברי הוא מספר מרוכב המהווה שורש של פולינום בעל מקדמים רציונליים (או שלמים, אין הבדל).
בפרט, כל מספר רציונלי q הוא אלגברי, משום שהוא פותר את המשוואה .
מספר (מרוכב) שאינו אלגברי נקרא מספר טרנסצנדנטי.
אוסף כל המספרים האלגבריים מהווה שדה, הנקרא שדה המספרים האלגבריים.
אוסף המספרים האלגבריים הוא בן מנייה, בעוד שהמשלים לו אינו בן מנייה.
תכונה זו הוכחה על ידי גאורג קנטור.
במובן זה ישנם הרבה יותר מספרים שאינם אלגבריים מאשר מספרים אלגבריים, למרות שבאופן מעשי קשה ביותר להוכיח שמספר נתון (כגון e או פאי) אינו אלגברי (להוכחות ראו טרנסצנדנטיות של e ומשפט לינדמן).
דוגמאות.

הוא מספר אלגברי – הוא מאפס את הפולינום .
הוא מספר אלגברי – הוא מאפס את הפולינום .
המספרים e, פאי ו- אינם אלגבריים.

ההגדרה המובאת כאן מסתפקת בכך שמספר אלגברי יהיה שורש לפולינום בעל מקדמים רציונליים.
הגדרה מקובלת אחרת דורשת שהמספר יהיה שורש לפולינום בעל מקדמים שלמים.
שתי ההגדרות שקולות זו לזו, משום שפולינום במקדמים רציונליים אפשר להפוך לפולינום במקדמים שלמים על ידי כפל בגורם משותף.
את ההגדרה הראשונה אפשר להכליל למושג איבר אלגברי בהרחבה כללית של שדות; אחרי הכל, מספר אלגברי אינו אלא איבר אלגברי של שדה המספרים המרוכבים מעל שדה המספרים הרציונליים.
באופן דומה, ההגדרה השנייה הולמת אם חושבים על שדה המספרים המרוכבים כאלגברה מעל חוג המספרים השלמים: האיברים האלגבריים בהרחבה זו הם בדיוק המספרים האלגבריים.

נלקח מויקיפדיה

הגדרות נוספות הקשורות למספר אלגברי:
•אלגברה
•מספרים אלגבריים