כל מה שרצית לדעת על משפט המינימקס:
בתורת המשחקים, משפט המינימקס העוסק במשחק סכום אפס סופי לשני שחקנים, אומר כי לכל משחק מסוג זה קיימת דרך פעולה אופטימלית לשחק מבחינת שני השחקנים, כך שהרווח המינימלי של כל אחד אינו תלוי במעשי השני.
המשפט הוכח בשנת 1928 על ידי ג'ון פון נוימן.
משפט המינימקס נקרא כך כיוון שכל שחקן שואף למקסם את התשלום המינימלי שהוא יכול לקבל מהמשחק, או למזער את ההפסד המקסימלי.
ניסוח יותר מדויק במונחי תורת המשחקים של משפט המינימקס הוא כי לכל משחק סכום אפס סופי לשני שחקנים קיים ערך.
כל שחקן יכול להבטיח לעצמו לזכות לפחות בערך המשחק, כנגד כל אסטרטגיה של השחקן השני.
ניתן לחשוב כי תוצאה זו היא טריוויאלית, כיוון שממילא כל שחקן יכול להבטיח לקבל לפחות את התשלום המינימלי האפשרי, אך משפט המינימקס טוען יותר מכך: אחת התוצאות המפתיעות של משפט המינימקס הוא כי ערך המשחק שווה לשני השחקנים.
כלומר, קיים ערך v, כך ששחקן 1 יכול להבטיח לעצמו להרוויח לפחות v, כנגד כל אסטרטגיה של שחקן 2, ושחקן 2 יכול להבטיח לעצמו לא להפסיד יותר מ v, כנגד כל אסטרטגיה של שחקן 1.
חשוב להבין כי דרך הפעולה האופטימלית לכל אחד מהשחקנים אינה בהכרח בחירה באחת האסטרטגיות שלו (הנקראות לעיתים תכסיסים), אלא ביצוע הגרלה בין מספר אסטרטגיות, כאשר החשיבות היא על המשקל שנותנים לכל אחת מהבחירות בהגרלה זו.
אם לא מאפשרים לשחקנים לבצע הגרלות המשפט לא תקף, והערך שכל שחקן יכול להבטיח לעצמו שונה.
למשל, במשחק "זוג או פרט", אין לאף שחקן דרך אופטימלית לשחק שאינה כוללת הגרלה – שכן השאלה מה עדיף לו לבחור, זוג או פרט, תלויה לחלוטין בבחירה של היריב.
לעומת זאת התכסיס האופטימלי של כל שחקן הוא זה שבו הוא נותן הסתברות שווה לכל אחת מהאפשרויות.
במצב זה תוחלת הרווח של כל שחקן מהמשחק תהיה 0 – כי הוא יפסיד בחצי מהפעמים, וינצח בחצי מהפעמים (כאשר משחקים משחק רב של פעמים).
על כן המשחק הוא כזה שבו אף שחקן לא יכול להרוויח, בטווח הרחוק.
ניתן להראות שכל משחק סימטרי באופיו (מבחינה זו שאם יחליפו את מקומות השחקנים, הסיכויים שלהם לזכות יישארו זהים) הוא בעל ערך 0.
תכסיס/אסטרטגיה הכוללת הגרלה בין מספר תכסיסים נקרא תכסיס מעורב.
תכסיס/אסטרטגיה ללא הגרלות נקרא גם תכסיס טהור.