פונקציית זטא

כל מה שרצית לדעת על פונקציית זטא:
בתורת המספרים ובתחומים אחרים במתמטיקה, פונקציית זטא הוא שם לכמה פונקציות החולקות מספר תכונות משותפות עם הדוגמה הראשונה והחשובה ביותר לפונקציה כזו – פונקציית זטא של רימן.
המושג אינו מוגדר באופן מדויק, והוא מתייחס בדרך כלל לפונקציות מרוכבות המקיימות את ארבע התכונות הבאות:מרומורפיות בכל המישור המרוכב.
יש להן פיתוח לטור דיריכלה, בצורה   ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ a n n s {\displaystyle \ \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}} , המתכנס כאשר החלק הממשי של s גדול מספיק.
יש להן פיתוח למכפלת אוילר, כמו הפיתוח   ζ ( s ) = ∏ p ( 1 − b p p s ) − 1 {\displaystyle \ \zeta (s)=\prod _{p}(1-{\frac {b_{p}}{p^{s}}})^{-1}} , כאשר המכפלה היא על-פני המספרים הראשוניים.
הן מקיימות משוואה פונקציונלית, כדוגמת זו הקושרת את   ζ ( 1 − s ) {\displaystyle \ \zeta (1-s)} עם   ζ ( s ) {\displaystyle \ \zeta (s)} בפונקציית זטא של רימן.
בין הסוגים החשובים ביותר של פונקציות זטא אפשר למצוא את פונקציות L של דיריכלה, פונקציות זטא של דדקינד, פונקציות L כלליות יותר, שפותחו על ידי ארטין ווייל, ורבות אחרות.

נלקח מויקיפדיה

הגדרות נוספות הקשורות לפונקציית זטא:
•תורת המספרים האנליטית