כל מה שרצית לדעת על קבוצה קומפקטית:
קבוצה קומפקטית היא קבוצה בעלת התכונה הבאה: לכל כיסוי פתוח של הקבוצה, קיים תת-כיסוי סופי‏.
לדוגמה, כל קבוצה סופית היא קומפקטית, ובמידת מה אפשר לחשוב על הקומפקטיות כעל הכללה טופולוגית של מושג הסופיות; הקבוצות הקומפקטיות הן 'הקבוצות הקטנות' של המרחב הטופולוגי.
אם המרחב הטופולוגי כולו מקיים את התכונה הזו, הוא נקרא מרחב קומפקטי.
תכונות קרובות
אפשר לפרק את תכונת הקומפקטיות לשני מרכיבים חלשים יותר.
קבוצה מקיימת את תכונת לינדלוף אם לכל כיסוי אינסופי שלה יש תת-כיסוי בן מנייה; וקבוצה נקראת קומפקטית מנייתית אם לכל כיסוי בן מנייה שלה, יש תת-כיסוי סופי.
כמובן, קבוצה קומפקטית מקיימת את שתי התכונות האלה.
באופן יותר כללי, בהינתן מונה k, נאמר שמרחב טופולוגי הוא k-קומפקטי אם לכל כיסוי פתוח שלו יש תת-כיסוי שעוצמתו קטנה ממש מ k.
בעזרת הדואליות בין קבוצות פתוחות וקבוצות סגורות, אפשר לנסח את תכונת הקומפקטיות גם באופן הבא: במרחב קומפקטי, אם אוסף של קבוצות סגורות מקיים את תכונת החיתוך הסופי (החיתוך של כל מספר סופי של קבוצות מהמשפחה אינו ריק), אז גם החיתוך של המשפחה כולה אינו ריק.
בספרים אחדים (במיוחד בתחום הגאומטריה האלגברית) מייעדים את התואר 'קומפקטי' רק למרחבי האוסדורף, אולם זוהי הגדרה פחות מקובלת של המושג.
בספרים אלו מרחב שהוא קומפקטי ואינו האוסדורף נקרא קוואזי-קומפקטי.
קומפקטיות סדרתית
אחת התכונות החשובות של קבוצות קומפקטיות במרחבים מטריים מתוארת במשפט בולצאנו-ויירשטראס: לכל סדרה בקבוצה קומפקטית יש תת-סדרה מתכנסת.
קבוצה המקיימת תכונה זו היא קומפקטית סדרתית.
במרחב מטרי התכונה שקולה לקומפקטיות, אבל במרחבים טופולוגיים כלליים אלו שתי תכונות שונות, שאינן בהכרח גוררות זו את זו.
במרחבים המקיימים את תכונת המניה הראשונה, קומפקטיות סדרתית שקולה לקומפקטיות מנייתית.
מכיוון שמרחב מטרי קומפקטי הוא קומפקטי סדרתית, כל מרחב כזה הוא שלם (שהרי סדרת קושי שיש לה תת-סדרה מתכנסת, היא בעצמה סדרה מתכנסת).
סיגמא-קומפקטיות
מרחב שהוא איחוד סדרה של קבוצות קומפקטיות נקרא סיגמא-קומפקטי.
מרחב מקיים את תכונת מנגר אם בהינתן סדרה של כיסויים פתוחים שלו, אפשר לבחור תת-קבוצה סופית מכל כיסוי, כך שאיחוד כל הקבוצות מכסה את המרחב.
עבור מרחבים מטריים, תכונה זו שקולה לכך שבכל בסיס של המרחב יש תת-כיסוי בן-מניה עם קוטר השואף לאפס.
כל מרחב סיגמא-קומפקטי מקיים את תכונת מנגר, אבל ההיפך אינו נכון: כל "קבוצת לוזין" היא מנגר אבל לא סיגמא-קומפקטית, וקבוצות לוזין קיימות תחת ZFC.
(קבוצת לוזין היא תת-קבוצה של הישר הממשי, שאינה בת-מניה, אבל החיתוך שלה עם כל קבוצה דקה הוא בן-מניה לכל היותר).

נלקח מויקיפדיה

הגדרות נוספות הקשורות לקבוצה קומפקטית:
•טופולוגיה
•קומפקטיות