קוואזי-איזומטריה

כל מה שרצית לדעת על קוואזי-איזומטריה:
בטופולוגיה של מרחבים מטריים, קוואזי-איזומטריה היא פונקציה   f : X → Y {\displaystyle \ f:X\rightarrow Y} ממרחב מטרי X למשנהו Y, השומרת על המבנה המטרי באופן רופף, במובן הבא:קיימים קבועים   λ , C {\displaystyle \ \lambda ,C} כך שלכל   x , x ′ ∈ X {\displaystyle \ x,x'\in X} מתקיים   d Y ( f ( x ) , f ( x ′ ) ) < λ ⋅ d X ( x , x ′ ) + C {\displaystyle \ d_{Y}(f(x),f(x'))<\lambda \cdot d_{X}(x,x')+C} ו-   d X ( x , x ′ ) < λ ⋅ d Y ( f ( x ) , f ( x ′ ) ) + C {\displaystyle \ d_{X}(x,x')<\lambda \cdot d_{Y}(f(x),f(x'))+C} ; ובנוסף לזה,לכל   y ∈ Y {\displaystyle \ y\in Y} קיימת נקודה   x ∈ X {\displaystyle \ x\in X} כך ש-   d Y ( f ( x ) , y ) < C {\displaystyle \ d_{Y}(f(x),y)<C} .
משמעות התנאי הראשון היא שלפונקציה מותר לשנות את המרחק בין נקודות, אבל במידה מתונה בלבד; בפרט, אם המרחק בין נקודות גדל לאינסוף, כך גם המרחק בין התמונות שלהן.
התנאי השני מכריח את הפונקציה לכסות חלק משמעותי מן המרחב השני: כל נקודה ב- Y נמצאת במרחק C לכל היותר מנקודה שהגיעה מ-X.
מרחבים שיש ביניהם קוואזי-איזומטריה הם מרחבים קוואזי-איזומטריים.
זהו יחס שקילות: הרכבה של קוואזי-איזומטריות היא קוואזי-איזומטריה, ולכל קוואזי-איזומטריה מ-X ל-Y יש קוואזי-איזומטריה בכיוון ההפוך, מ-Y ל-X.
מרחבים איזומטריים הם בפרט קוואזי-איזומטריים.
קוואזי-איזומטריה מודדת את המבנה של המרחב בקנה מידה גדול בלבד.
למשל, כל מרחב קוואזי-איזומטרי למרחב המתקבל כשמוציאים ממנו כדור (גדול ככל שיהיה).
בפרט, כל המרחבים החסומים קוואזי-איזומטריים זה לזה.

נלקח מויקיפדיה

הגדרות נוספות הקשורות לקוואזי-איזומטריה:
•מרחבים מטריים
•תורת החבורות