שדה פיצול

כל מה שרצית לדעת על שדה פיצול:
בתורת השדות המתמטית, שדה פיצול של פולינום   f {\displaystyle \ f} מעל השדה   F {\displaystyle \ F} , הוא שדה E {\displaystyle E} המרחיב את F {\displaystyle F} בו הפולינום מתפצל לגורמים ליניאריים, בצורה   f ( x ) = λ ( x − a 1 ) ⋯ ( x − a n ) {\displaystyle \ f(x)=\lambda (x-a_{1})\cdots (x-a_{n})} כאשר a 1 , … , a n ∈ E {\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in E} ו- λ ∈ F {\displaystyle \lambda \in F} , ושאין לו תת-שדות (אמיתיים) המקיימים את אותה דרישה.
לכל פולינום קיים שדה פיצול יחיד, עד-כדי איזומורפיזם.
אינטואיטיבית, פולינום שאפשר לפרק לגורמים ליניאריים אינו "מעניין" – הוא בסך-הכל מהווה דרך להחזיק יחד את קבוצת השורשים שלו.
פולינום שיש לו גורמים אי-פריקים שאינם ליניאריים מאפשר לבנות הרחבות לא טריוויאליות של השדה.
במובן זה, פיצול הפולינום לגורמים ליניאריים (בדרך של הרחבת שדה המקדמים) "הורסת" את המידע המעניין בפולינום, ושדה פיצול הוא השדה הקטן ביותר המגשים תוכנית כזו.
המונח "שדה פיצול" משמש, בהשאלה, גם בתחומים אחרים של האלגברה המודרנית, לציון שדה המרסק את המבנה האריתמטי העדין של אובייקט, ומאפשר ללמוד אותו בכלים גאומטריים.
לדוגמה, קיימים שדות פיצול של טורוס בחבורה אלגברית, של הצגה של חבורה סופית, של אלגברה פשוטה, ועוד.

נלקח מויקיפדיה

הגדרות נוספות הקשורות לשדה פיצול:
•תורת השדות