כל מה שרצית לדעת על אלגברת קיילי:
במתמטיקה, אלגברת קיילי היא אלגברה אלטרנטיבית פשוטה מממד 8.
אלגבראות קיילי מתקבלות על ידי בניית קיילי-דיקסון מאלגברת קווטרניונים, והן קשורות למבנים מרכזיים באלגברה לא אסוציאטיבית, ובפרט לאלגבראות לי וחבורות ליניאריות מטיפוס G2.
הדוגמה החשובה ביותר לאלגברת קיילי היא אלגברת האוקטוניונים, שהיא אלגברת החילוק היחידה מממד 8 מעל שדה המספרים הממשיים.
כל חוג אלטרנטיבי פשוט שאינו נילי ואינו אסוציאטיבי הוא אלגברת קיילי.
כפי שאלגברת קווטרניונים מוגדרת על-פי שני קבועים מעל שדה הבסיס, אלגברת קיילי מוגדרת על-פי שלושה קבועים: האלגברה   ( Q , γ ) = ( α , β , γ ) {\displaystyle \ (Q,\gamma )=(\alpha ,\beta ,\gamma )} היא זו המתקבלת בבניית קיילי-דיקסון מאלגברת הקווטרניונים   Q = ( α , β ) = F [ x , y | x 2 = α , y 2 = β , y x = − x y ] {\displaystyle \ Q=(\alpha ,\beta )=F[x,y|x^{2}=\alpha ,y^{2}=\beta ,yx=-xy]} (ההצגה – בהנחה שהמאפיין שונה מ-2) על ידי סיפוח איבר z המקיים   z 2 = γ {\displaystyle \ z^{2}=\gamma } .
מעל כל שדה, יש אלגברת קיילי מפוצלת אחת, וכל שאר אלגבראות קיילי הן אלגבראות עם חילוק.
אם יש באלגברת קיילי אידמפוטנט, אז היא מפוצלת, ושווה ל-   C = Q [ z ] {\displaystyle \ C=Q[z]} כאשר Q אלגברת קווטרניונים כלשהי ו-   z 2 = 1 {\displaystyle \ z^{2}=1} .
במקרה זה,   e = 1 2 ( z + 1 ) {\displaystyle \ e={\frac {1}{2}}(z+1)} אידמפוטנט, וביחס אליו המרכיבים בפירוק פירס הם   C 00 = F ( z − 1 ) , C 11 = F ( z + 1 ) , C 01 = ( z − 1 ) Q 0 , C 10 = ( z + 1 ) Q 0 {\displaystyle \ C_{00}=F(z-1),C_{11}=F(z+1),C_{01}=(z-1)Q_{0},C_{10}=(z+1)Q_{0}} , כאשר   Q 0 {\displaystyle \ Q_{0}} הוא מרחב האיברים בעלי עקבה 0 ב-Q.

נלקח מויקיפדיה

הגדרות נוספות הקשורות לאלגברת קיילי:
•סדרות של מבנים אלגבריים
•תורת החוגים