כל מה שרצית לדעת על אינדוקציה טרנספיניטית:
אינדוקציה טרנספיניטית היא שיטת הוכחה המאפשרת להוכיח שתכונה מסוימת מתקיימת לכל איברי קבוצה סדורה היטב.
האינדוקציה הטרנספיניטית היא וריאציה על האינדוקציה המתמטית, שמתקיימת עבור קבוצת המספרים הטבעיים
עקרון האינדוקציה הטרנספיניטית: תהא X קבוצה סדורה היטב ו-A תכונה מסוימת.
נתון שכל x ששייך ל-X מקיים את התכונה הבאה: אם כל המספרים שקטנים ממנו מקיימים את התכונה A, אז גם הוא עצמו מקיים את התכונה A.
אזי כל האיברים ב-X מקיימים את התכונה A.
או בכתיבה מתמטית:
הוכחה שהשיטה עובדת: נסמן את קבוצת האיברים ששייכים ל-X ומקיימים את התכונה ב-A.
נניח בשלילה ש-A≠X, אזי, כיוון ש-X מכילה את A, קיים איבר x0∈X אבל x0∉A.
עתה נסתכל על הקבוצה X\A (\ מסמן הפרש).
כיוון ש-X סדורה היטב, והקבוצה הזאת אינה ריקה, יש לה איבר ראשון, b0.
כיוון שb0 הראשון עבורו התכונה אינה מתקיימת, לכל קודמיו ההנחה כן מתקיימת.
לכן, על פי הנחת האינדוקציה, התכונה נכונה גם לb0.
סתירה.
גם המשפט ההפוך נכון: קבוצה סדורה שמקיימת את עקרון האינדוקציה הטרנספיניטית סדורה בסדר טוב.
פעמים רבות ההוכחה מתחלקת לשני חלקים: הוכחה לאיברים עוקבים (שמהווים איבר עוקב של איבר אחר) ואיברים גבוליים (שאינם מקיימים את התכונה הזאת).

נלקח מויקיפדיה

הגדרות נוספות הקשורות לאינדוקציה טרנספיניטית:
•קצרמר מתמטיקה
•תורת הקבוצות
•שיטות הוכחה
•קבוצות סדורות