-
תלות ליניארית
כל מה שרצית לדעת על תלות ליניארית:תלויה ליניארית הוא מושג באלגברה ליניארית המתאר קבוצת וקטורים במרחב וקטורי, אשר אפשר להציג אחד מהווקטורים שלה כצירוף ליניארי של וקטורים אחרים בקבוצה.לדוגמה, שלושת הווקטורים (1, 0, 0), (0,1,0) ו-(0, 0, 1) ב- R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} בלתי תלויים ליניארית, אולם (2, 1-, 1), (1, 0, 1)…
-
בסיס (אלגברה)
כל מה שרצית לדעת על בסיס (אלגברה):בסיס הוא קבוצת וקטורים במרחב וקטורי בה אפשר להציג כל איבר במרחב כצירוף ליניארי של הקבוצה, באופן יחיד. ניתן להגדירו באופן שקול בכמה צורות:בסיס הוא קבוצה פורשת בלתי תלויה ליניארית.בסיס הוא קבוצה פורשת מינימלית, כלומר כזו שאם מסירים ממנה ולו וקטור אחד, היא כבר אינה פורשת.בסיס הוא קבוצה בלתי…
-
מטריצת מעבר
כל מה שרצית לדעת על מטריצת מעבר:באלגברה ליניארית, מטריצת מעבר בין בסיסים של אותו מרחב וקטורי מממד סופי, היא מטריצה ריבועית שהכפל בה מתרגם וקטורי קואורדינטות לפי הבסיס הראשון לוקטורי קואורדינטות לפי הבסיס השני.יהיו B ו-C בסיסים סדורים למרחב הווקטורי V. מטריצת המעבר מ-B ל-C, M C B {\displaystyle \ M_{C}^{B}} , היא המטריצה…
-
מטריצת היחידה
כל מה שרצית לדעת על מטריצת היחידה:באלגברה ליניארית, מטריצת היחידה מסדר n {\displaystyle \ n} היא מטריצה ריבועית בגודל n 2 {\displaystyle \ n^{2}} , שהאלכסון הראשי שלה מורכב מאחדות וכל שאר המטריצה מאפסים. היא מסומנת על ידי I n {\displaystyle \ I_{n}} או על ידי I {\displaystyle \ I} כאשר…
-
שדה (מבנה אלגברי)
כל מה שרצית לדעת על שדה (מבנה אלגברי):שדה הוא אחד המבנים האלגברים היסודיים המשמשים באלגברה מופשטת. זהו חוג שאיבריו השונים מאפס, מהווים חבורה אבלית תחת כפל. משום כך, ניתן לבצע את ארבע פעולות החשבון המוכרות. הדוגמאות המוכרות ביותר של שדות הם שדה המספרים הרציונליים, שדה המספרים הממשיים ושדה המספרים המרוכבים. בנוסף להם קיימים גם שדות…
-
אורתוגונליות
כל מה שרצית לדעת על אורתוגונליות:אוֹרְתּוֹגוֹנָלִיּוֹּת היא הכללה של תכונת הניצבות המוכרת מגאומטריה. בגאומטריה, שני ישרים במישור האוקלידי ניצבים זה לזה אם הזווית הנוצרת בנקודת החיתוך שלהם היא זווית ישרה (בת 90 מעלות). מושג האורתוגונליות מנסה לתפוס תכונה זו גם עבור ההכללות של המישור האוקלידי – המרחבים הווקטוריים שאבריהם אינם בהכרח ישרים אלא וקטורים, שהם…
-
מטריצת אפסים
כל מה שרצית לדעת על מטריצת אפסים:במתמטיקה ובפרט באלגברה ליניארית, מטריצת אפסים היא מטריצה שכל איבריה הם 0, כלומר אפסים. לדוגמה: 0 1 , 1 = [ 0 ] , 0 2 , 2 = [ 0 0 0 0 ] , 0 2 , 3 = [ 0 0 0 0 0…
-
מטריצה אוניטרית
כל מה שרצית לדעת על מטריצה אוניטרית:באלגברה ליניארית, מטריצה אוניטרית היא מטריצה ריבועית מעל המספרים המרוכבים המקיימת את התנאי A ∗ A = A A ∗ = I {\displaystyle A^{*}A=AA^{*}=I} כלומר A T ¯ A = A A T ¯ = I n {\displaystyle {\overline {A^{T}}}A=A{\overline {A^{T}}}=I_{n}\,} כאשר I היא מטריצת היחידה, ו- A…
-
נוסחת קרמר
כל מה שרצית לדעת על נוסחת קרמר:באלגברה ליניארית, נוסחת קרמר (או כלל קרמר) היא נוסחה מפורשת לפתרון מערכת משוואות ליניאריות בעזרת דטרמיננטות. היא קרויה על שם המתמטיקאי השווייצרי גבריאל קרמר.מבחינה חישובית הנוסחה אינה יעילה, אך יש לה חשיבות כיוון שהיא נותנת ביטוי חד-משמעי של פתרון המערכת, מה שגם מאפשר להוכיח תכונות של מטריצות ודטרמיננטות. כך…
-
מטריצה צמודה
כל מה שרצית לדעת על מטריצה צמודה:באלגברה ליניארית, מטריצה צמודה למטריצה מרוכבת A היא המטריצה המתקבלת משחלוף השורות והעמודות והצמדה של רכיבי המטריצה. דהיינו, בשורה ה-i ובעמודה ה-j של המטריצה הצמודה מופיע הצמוד המרוכב של הערך מן השורה ה-j והעמודה ה-i של המטריצה המקורית. בפרט, עבור מטריצות ממשיות, המטריצה הצמודה אינה אלא המטריצה המשוחלפת. כלומר,…