-
משפט ההעתקה הפתוחה
כל מה שרצית לדעת על משפט ההעתקה הפתוחה:משפט ההעתקה הפתוחה הוא משפט חשוב באנליזה פונקציונלית הנוגע לאופרטורים. את המשפט ניסח והוכיח סטפן בנך. נלקח מויקיפדיה הגדרות נוספות הקשורות למשפט ההעתקה הפתוחה:•משפטים בטופולוגיה•משפטים באנליזה פונקציונלית
-
משפט הקירוב של ויירשטראס
כל מה שרצית לדעת על משפט הקירוב של ויירשטראס:משפט הקירוב של ויירשטראס הוא תוצאה יסודית בתורת הקירובים ובאנליזה פונקציונלית, הקובעת שכל פונקציה רציפה בקטע סגור וחסום ניתנת לקירוב במידה-שווה על ידי פולינומים. במילים אחרות, המשפט קובע שתת-מרחב הפולינומים מהווה קבוצה צפופה במרחב הפונקציות הרציפות על קטע סגור וחסום.משפט סטון-ויירשטראס מהווה הכללה חשובה של משפט זה.…
-
משפט לוזין
כל מה שרצית לדעת על משפט לוזין:משפט לוזין מבטא עיקרון יסודי באנליזה פונקציונלית, לפיו כל פונקציה מדידה לבג, במונחי תורת המידה היא כמעט פונקציה רציפה. כלומר כל פונקציה מדידה קרובה להיות פונקציה רציפה במובן של קירוב שיתואר בהמשך. את המשפט הוכיח המתמטיקאי הרוסי ניקולאי לוזין בשנת 1912. נלקח מויקיפדיה הגדרות נוספות הקשורות למשפט לוזין:•משפטים באנליזה…
-
משפט אגורוף
כל מה שרצית לדעת על משפט אגורוף:משפט אגורוף (או משפט סבריני-אגורוף) מבטא עיקרון יסודי באנליזה פונקציונלית, לפיו כל סדרת פונקציות המתכנסת לפונקציה גבולית, במונחי תורת המידה היא "כמעט" מתכנסת במידה שווה. כלומר כל התכנסות של סדרת פונקציות קרובה להיות התכנסות במידה שווה במובן של קירוב שיתואר בהמשך. את המשפט הוכיחו באופן לא תלוי המתמטיקאי האיטלקי…
-
משפט הקטגוריה של בייר
כל מה שרצית לדעת על משפט הקטגוריה של בייר:משפט הקטגוריה של בייר (Baire) הוא משפט שימושי מאוד באנליזה פונקציונלית ובטופולוגיה קבוצתית. בעזרת המשפט אפשר להוכיח את קיומן של נקודות מסוימות במרחב מטרי שלם. נקודות אלו יכולות להיות למשל פונקציות בעלות תכונות מיוחדות. נלקח מויקיפדיה הגדרות נוספות הקשורות למשפט הקטגוריה של בייר:•משפטים בטופולוגיה•משפטים באנליזה פונקציונלית
-
אי-שוויון המשולש האינטגרלי
כל מה שרצית לדעת על אי-שוויון המשולש האינטגרלי:הערה: ניתן להוכיח כי אם אינטגרבילית בקטע אז גם אינטגרבילית שם. הוכחה: לכל מתקיים . ומתכונת המונוטוניות של האינטגרל נסיק ש- כלומר . בסה"כ קיבלנו כי כנדרש. נלקח מויקיפדיה הגדרות נוספות הקשורות לאי-שוויון המשולש האינטגרלי:•אינטגרלים•משפטים באנליזה פונקציונלית•אי-שוויונות
-
משפט טיכונוף
כל מה שרצית לדעת על משפט טיכונוף:בטופולוגיה, משפט טיכונוף קובע שאם { ( X i , τ i ) } i ∈ I {\displaystyle \left\{(X_{i},\tau _{i})\right\}_{i\in I}} משפחה של מרחבים טופולוגיים קומפקטיים, אז גם מרחב המכפלה ∏ i ∈ I X i {\displaystyle \ \prod _{i\in I}X_{i}} קומפקטי. המשפט נחשב אחד המשפטים החשובים ביותר…
-
משפט אוריסון
כל מה שרצית לדעת על משפט אוריסון:באופן כללי יותר, המשפט (עם אותה הוכחה) מראה שכל מרחב רגולרי המקיים את אקסיומת המנייה השנייה הוא מרחב סמי-מטרי.מעבר לזה, המשפט מראה שמרחבי T3 (ובפרט, מרחבי האוסדורף קומפקטיים) בעלי בסיס בן מנייה הם תת-מרחבים של מרחב הסדרות , ובכך הוא מבסס את המרכזיות של המרחב האחרון בטופולוגיה ובאנליזה פונקציונלית.…
-
כדור (טופולוגיה)
כל מה שרצית לדעת על כדור (טופולוגיה):כדור פתוח של מחוג r > 0 אשר מרכזו בנקודה p נכתב לרוב כ-. דבר זה מוגדר כ: כאשר d הוא פונקציית המרחק (מטריקה). ב-Rn, פונקציית המרחק האוקלידית הרגילה נתונה על ידי: . יש לשים לב שכדור פתוח תמיד מכיל את p וזאת כיוון ש r > 0. כדורים…
-
סדרת קושי
כל מה שרצית לדעת על סדרת קושי:הגדרה פורמלית: יהי X מרחב מטרי (כלומר: קבוצה עם מטריקה d עליה), ותהי סדרה שאיבריה במרחב זה. אזי אם לכל קיים N כך שלכל מתקיים אזי הסדרה נקראת סדרת קושי. אפשר לטפל בסדרות קושי של מספרים (רציונליים או ממשיים), ובאופן כללי יותר בסדרות של אברים בכל מרחב מטרי. כל…